【野崎駅前校】【中3数学】中間テストに出たこの問題、どう解く？展開と因数分解で完全攻略！
今回は、実際に中間テストに出題されたこちらの問題を一緒に解いてみましょう。
問題
(x+1)2(x−1)2(x2+1)2
一見するととても難しそうに見えますが、展開と因数分解の基本をしっかり押さえていれば、きちんと解ける問題です！
ステップ①：前半の部分を見てみよう
まずは (x+1)2(x−1)2の部分に注目します。
これは、累乗の部分を
(x+1) (x+1) (x−1) (x−1)
と考えることができます。
さらに、小学校の時に習った掛算の順番が変わっても、答えが変わらないを使って、順番を入れ替えます。
(x+1) (x−1) (x+1) (x−1)
そして、(x+1) (x−1) (x+1) (x−1)は習う公式のひとつ、
(a+b)(a−b)=a2−b2
を使うと…
(x+1)(x−1)=x2−1
よって、(x+1)2(x−1)2は、
(x2−1) (x2−1)
ステップ②：式をまとめてみよう
ここまでで、元の式は次のように変形できます。
(x2−1) (x2−1) (x2+1)2
ここで(x2+1)2もさっきと同様に累乗をひもとくと、
(x2+1) (x2+1)
つまり
(x2−1) (x2−1) (x2+1) (x2+1)
となります。
掛算の順番が変わっても答えはかわらないので、
(x2−1) (x2+1) (x2−1) (x2+1)
と並び替えます。
これもまた、よく見るとさっきと同じ公式が使えそうです。
最終結果！
したがって、元の式
(x+1)2(x−1)2(x2+1)2
は、順番を並び替えて展開すると
(x4−1)2
となります！
よって、答えは
x8−2x4+1
※中間テストに出た問題ですが、これは高1レベルの内容なので、今は「展開できる」ということを知っておくだけでOK！
まとめ
この問題のポイントは、
- 因数分解や展開の公式を見抜くこと
- 複雑な式でも、グループに分けて考えること
です！
練習問題
最後に練習問題！
(x+2)2(x−2)2(x2+4)2
同じように整理してみてね！
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